26В. а) Решите уравнение  \(\frac{{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos 2x — 1}}{{\sqrt {\cos x} }} = 0;\)

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{\pi }{2};\;2\pi } \right.]\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( \pm \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\,\frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,\;k \in Z;\)

б) \(\frac{{7\pi }}{4}.\)

Решение

а)

\(\frac{{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos 2x — 1}}{{\sqrt {\cos x} }} = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos 2x — 1 = 0,}\\{\cos x > 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\end{array}} \right.\)

Решим уравнение системы:

 \(2{\sin ^2}x + 2\sin x\cos 2x — 1 = 0.\)

Так как \(2{\sin ^2}x — 1 =  — \left( {1 — 2{{\sin }^2}x} \right) =  — \cos 2x,\) то уравнение примет вид:

 \(2\sin x\cos 2x — \cos 2x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos 2x\left( {2\sin x — 1} \right) = 0.\)

Тогда исходное уравнение равносильно системе:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x\left( {2\sin x — 1} \right) = 0,}\\{\cos x > 0\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = 0,}\\{\sin x = \frac{1}{2}\;\;\;}\end{array}} \right.}\\{\cos x > 0\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;\;\;}\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\;\;}\\{x =  — \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;}\\{x =  — \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\\{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\;\;\;}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;}\end{array}\;\;\;\;k \in Z} \right.}\\{\cos x > 0\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  \pm \frac{\pi }{4} + 2\pi k,}\\{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{\pi }{2};\;2\pi } \right]\), с помощью тригонометрической окружности. Получим значение:

\(x =  — \frac{\pi }{4} + 2\pi  = \frac{{7\pi }}{4}.\)

Ответ:  а)  \( \pm \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\,\frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,\;k \in Z;\)

             б)  \(\frac{{7\pi }}{4}.\)