26В. а) Решите уравнение \(\frac{{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos 2x — 1}}{{\sqrt {\cos x} }} = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{\pi }{2};\;2\pi } \right.]\)
ОТВЕТ: а) \( \pm \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\,\frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,\;k \in Z;\) б) \(\frac{{7\pi }}{4}.\)
а) \(\frac{{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos 2x — 1}}{{\sqrt {\cos x} }} = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos 2x — 1 = 0,}\\{\cos x > 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \(2{\sin ^2}x + 2\sin x\cos 2x — 1 = 0.\) Так как \(2{\sin ^2}x — 1 = — \left( {1 — 2{{\sin }^2}x} \right) = — \cos 2x,\) то уравнение примет вид: \(2\sin x\cos 2x — \cos 2x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos 2x\left( {2\sin x — 1} \right) = 0.\) Тогда исходное уравнение равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x\left( {2\sin x — 1} \right) = 0,}\\{\cos x > 0\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = 0,}\\{\sin x = \frac{1}{2}\;\;\;}\end{array}} \right.}\\{\cos x > 0\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;\;\;}\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\;\;}\\{x = — \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;}\\{x = — \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\\{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\;\;\;}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;}\end{array}\;\;\;\;k \in Z} \right.}\\{\cos x > 0\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \frac{\pi }{4} + 2\pi k,}\\{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{\pi }{2};\;2\pi } \right]\), с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: \(x = — \frac{\pi }{4} + 2\pi = \frac{{7\pi }}{4}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\,\frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,\;k \in Z;\) б) \(\frac{{7\pi }}{4}.\)