27В. а) Решите уравнение \(\frac{{2{{\cos }^2}x — 2\cos x\cos 2x — 1}}{{\sqrt {sinx} }} = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 4\pi ;\; — \frac{{5\pi }}{2}} \right].\)
а) \(\frac{{2{{\cos }^2}x — 2\cos x\cos 2x — 1}}{{\sqrt {sinx} }} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{{\cos }^2}x — 2\cos x\cos 2x — 1 = 0,}\\{sinx > 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \(2{\cos ^2}x — 2\cos x\cos 2x — 1 = 0.\) Так как \(2{\cos ^2}x — 1 = \cos 2x,\) то уравнение примет вид: \(\cos 2x — 2\cos x\cos 2x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos 2x\left( {1 — 2\cos x} \right) = 0.\) Тогда исходное уравнение равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x\left( {1 — 2\cos x} \right) = 0,}\\{\sin x > 0\,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = 0,}\\{\cos x = \frac{1}{2}\;\;\;}\end{array}} \right.}\\{\sin x > 0\;\,\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;\;\;}\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\;\;}\\{x = — \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\;}\\{x = — \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\\{x = \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\,\;\;\;}\\{x = — \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;}\end{array}\;\;\;\;k \in Z} \right.}\\{\sin x > 0\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\,}\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\\{x = \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{4} — 4\pi = — \frac{{15\pi }}{4};\,\,\;x = \frac{{3\pi }}{4} — 4\pi = — \frac{{13\pi }}{4};\;\,x = \frac{\pi }{3} — 4\pi = — \frac{{11\pi }}{3}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\,\frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\,\frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\,\,\;k \in Z;\) б) \( — \frac{{15\pi }}{4};\,\; — \frac{{13\pi }}{4};\; — \frac{{11\pi }}{3}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 4\pi ;\; — \frac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: