28В. а) Решите уравнение \(\frac{{4\cos 2x — 9\sin x — 4}}{{\sqrt { — \cos x} }} = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{\pi }{2};\frac{{7\pi }}{2}} \right].\)
ОТВЕТ: а) \(\pi + 2\pi k,\,\,\;k \in Z;\) б) \(\pi ;\,\;3\pi .\)
а) \(\frac{{4\cos 2x — 9\sin x — 4}}{{\sqrt { — \cos x} }} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4\cos 2x — 9\sin x — 4 = 0,}\\{ — \cos x > 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \(4\cos 2x — 9\sin x — 4 = 0.\) Так как \(\cos 2x = 1 — 2{\sin ^2}x,\) то уравнение примет вид: \(8{\sin ^2}x + 9\sin x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\left( {8\sin x + 9} \right) = 0.\) Тогда исходное уравнение равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x\left( {8\sin x + 9} \right) = 0,}\\{\cos x < 0\,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;\;\;\,\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\sin x = — \frac{9}{8} \notin \left[ { — 1;1} \right]}\end{array}} \right.}\\{\cos x < 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\;\,\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\;\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\pi k,\;\;\;\,\,\;\,}\\{x = \pi + 2\pi k,}\end{array}\;\;\;k \in Z} \right.}\\{\cos x < 0\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pi + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{\pi }{2};\frac{{7\pi }}{2}} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\): \( — \frac{\pi }{2} \le \pi + 2\pi k \le \frac{{7\pi }}{2}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; — \frac{{3\pi }}{2} \le 2\pi k \le \frac{{5\pi }}{2}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; — \frac{3}{4} \le k \le \frac{5}{4}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;k = 0,\;\;k = 1.\) При \(k = 0,\;\;\;x = \pi ;\) при \(k = 1,\;\;\;x = \pi + 2\pi = 3\pi .\) Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни \(\pi ;\;\;\;3\pi .\) Ответ: а) \(\pi + 2\pi k,\,\,\;k \in Z;\) б) \(\pi ;\,\;3\pi .\)