29В. а) Решите уравнение \(\left( {\cos x — 1} \right)\left( {{\rm{tg}}\,x + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\cos x} = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;\;\frac{\pi }{2}} \right].\)
Ответ
ОТВЕТ: а) \(2\pi k,\,\,\, — \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)
б) \( — \frac{\pi }{3};0\).
Решение
а)
\(\left( {\cos x-1} \right)\left( {{\rm{tg}}\,x + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\cos x} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 1,\;\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = -\sqrt 3 .}\\{\cos x = 0,\,\,\,\,}\end{array}\,}\end{array}} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x \ge 0,}\\{\cos x \ne 0,}\end{array}\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = — \frac{\pi }{3} + 2\pi k,}\\ {x = \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\end{array}\;\;\;\;k \in Z\;\;\; \Leftrightarrow } \right.}\\{\cos x > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = — \frac{\pi }{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\;\frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = — \frac{\pi }{3};\;\;x = 0.\)
Ответ: а) \(2\pi k,\,\,\, — \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)
б) \( — \frac{\pi }{3};0\).