3В. а) Решите уравнение
\(\frac{{\cos 2x + \sqrt 3 \sin x — 1}}{{{\rm{tg}}\,x — \sqrt 3 }} = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {2\pi ;\frac{{7\pi }}{2}} \right].\)
а) \(\frac{{\cos 2x + \sqrt 3 \sin x — 1}}{{{\rm{tg}}\,x — \sqrt 3 }} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x + \sqrt 3 \sin x — 1 = 0,}\\{{\rm{tg}}\,x — \sqrt 3 \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \(\cos 2x + \sqrt 3 \sin x — 1 = 0.\) Так как \(\cos 2x = 1 — 2{\sin ^2}x,\) то уравнение примет вид: \(2{\sin ^2}x — \sqrt 3 \sin x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\left( {2\sin x — \sqrt 3 } \right) = 0.\) Тогда исходное уравнение равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x\left( {2\sin x — \sqrt 3 } \right) = 0,}\\{{\rm{tg}}\,x \ne \sqrt 3 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;}\\{\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}} \right.}\\{{\rm{tg}}\,x \ne \sqrt 3 \;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\,\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;}\\{x = \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.}\\{x \ne \frac{\pi }{3} + \pi n,\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;k,n \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{x = \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = 2\pi ;\;\;\;\;x = \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi = \frac{{8\pi }}{3};\;\;\;\;x = 3\pi .\) Ответ: а) \(\pi k,\;\;\frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\;\;k \in Z;\) б) \(2\pi ;\;\;\;\;\frac{{8\pi }}{3};\;\;\;\;3\pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2\pi ;\frac{{7\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: