30В. а) Решите уравнение \(\left( {\sin 2x — \sin x} \right)\left( {\sqrt 2 + \sqrt { — 2{\rm{ctg}}\,x} } \right) = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 4\pi ; — \frac{{3\pi }}{2}} \right].\)
ОТВЕТ: а) \( — \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{{7\pi }}{3}.\)
а) \(\left( {\sin 2x-\sin x} \right)\left( {\sqrt 2 + \sqrt {-2{\rm{ctg}}\,x} } \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin 2x-\sin x = 0,\;\;\,}\\{\sqrt 2 + \sqrt {-2{\rm{ctg}}\,x} = 0}\end{array}\,\,} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{-2{\rm{ctg}}\,x \ge 0,}\\{\sin x \ne 0.\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Первое уравнение системы: \(\sin 2x — \sin x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2\sin x\cos x — \sin x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sin x\left( {2\cos x — 1} \right) = 0.\) Второе уравнение системы: \(\sqrt { — 2{\rm{ctg}}\,x} + \sqrt 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sqrt { — 2{\rm{ctg}}\,x} = — \sqrt 2 \) не имеет решений. Тогда исходное уравнение равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x\left( {2\cos x-1} \right) = 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{ctg}}\,x \le 0,\;\;\;\,}\\{\sin x \ne 0\,\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,}\\{\cos x = \frac{1}{2},}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{ctg}}\,x \le 0,}\\{\sin x \ne 0}\end{array}\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \frac{1}{2},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{ctg}}\,x \le 0,}\\{\sin x \ne 0\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\,\,\,k \in Z}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{ctg}}\,x \le 0,}\\{\sin x \ne 0\,}\end{array}\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -\frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 4\pi ; — \frac{{3\pi }}{2}} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\): \( — 4\pi \le — \frac{\pi }{3} + 2\pi k \le — \frac{{3\pi }}{2}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; — \frac{{11\pi }}{3} \le 2\pi k \le — \frac{{7\pi }}{6}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; — \frac{{11}}{6} \le k \le — \frac{7}{{12}}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;k = — 1.\) При \(k = — 1,\;\;\;x = — \frac{\pi }{3} — 2\pi = — \frac{{7\pi }}{3}.\) Следовательно, заданному промежутку принадлежит корень \( — \frac{{7\pi }}{3}.\) Ответ: а) \( — \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{{7\pi }}{3}.\)