31В. а) Решите уравнение \(\left( {\sin 2x + \cos x} \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt {{\rm{3tg}}\,x} } \right) = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;\;\pi } \right].\)
а) \(\left( {\sin 2x + \cos x} \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt {{\rm{3tg}}\,x} } \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin 2x + \cos x = 0,}\\{\sqrt 3 + \sqrt {3{\rm{tg}}\,x} = 0\,\,\,}\end{array}} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{3{\rm{tg}}\,x \ge 0,\;\;\;\;}\\{\cos x \ne 0.\;\;\;\;}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;}\end{array}} \right.\) Первое уравнение системы: \(\sin 2x + \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2\sin x\cos x + \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\cos x\left( {2\sin x + 1} \right) = 0.\) Второе уравнение системы: \(\sqrt 3 + \sqrt {3{\rm{tg}}\,x} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sqrt {3{\rm{tg}}\,x} = — \sqrt 3 \) не имеет решений. Тогда исходное уравнение равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x\left( {2\sin x + 1} \right) = 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x \ge 0,\;\;\;\;\;\,}\\{\cos x \ne 0\,\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,}\\{\sin x = -\frac{1}{2},}\end{array}} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x \ge 0,\;\,}\\{\cos x \ne 0}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = -\frac{1}{2}\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x \ge 0,\;\,}\\{\cos x \ne 0\,}\end{array}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\,\,}\\{x = -\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}\;\;\;\;k \in Z} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x \ge 0,\;\,}\\{\cos x \ne 0\,}\end{array}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) Ответ: а) \( — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\,\;k \in Z;\) б) \( — \frac{{5\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\;\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: \(x = — \frac{{5\pi }}{6}.\)