32В. а) Решите уравнение \(\left( {2\cos x + 1} \right)\left( {\sqrt { — \sin x} — 1} \right) = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\pi ;\;2\pi } \right].\)
а) \(\left( {2\cos x + 1} \right)\left( {\sqrt { — \sin x} — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\cos x + 1 = 0,}\\{\sqrt { — \sin x} — 1 = 0}\end{array}} \right.}\\{ — \sin x \ge 0\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = — \frac{1}{2},}\\{\sin x = — 1\;\,\;\,}\end{array}\;\;\;} \right.}\\{\sin x \le 0\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = — \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\;\,\;\;\;}\\{x = — \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;}\end{array}\;\;\;k \in Z} \right.}\\{\sin x \le 0\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\,\, \Leftrightarrow \;\;\,\,\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = — \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\\{x = — \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;k \in Z.\) \(x = — \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi = \frac{{4\pi }}{3};\;\;\,\,\,\;x = — \frac{\pi }{2} + 2\pi = \frac{{3\pi }}{2}.\) Ответ: а) \( — \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\;\, — \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\,\;k \in Z;\) б) \(\frac{{4\pi }}{3};\;\;\;\frac{{3\pi }}{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;\;2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: