34В. а) Решите уравнение \(\left( {2{{\cos }^2}x — 5\cos x + 2} \right){\log _7}\left( { — \sin x} \right) = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;\;\;\frac{\pi }{2}} \right].\)
a) \(\left( {2{{\cos }^2}x — 5\cos x + 2} \right){\log _7}\left( { — \sin x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{{\cos }^2}x — 5\cos x + 2 = 0,}\\{{{\log }_7}\left( { — \sin x} \right) = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.}\\{ — \sin x > 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) Решим первое уравнение системы: \(2{\cos ^2}x — 5\cos x + 2 = 0.\) Пусть \(\cos x = t,\;\;\;\;t \in \left[ { — 1;1} \right].\) Уравнение примет вид: \(2{t^2} — 5t + 2 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{1}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{t} = 2 \notin \left[ { — 1;1} \right].}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \frac{1}{2},}\\{\sin x = — 1\,}\end{array}} \right.}\\{\sin x < 0\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,}\\{x = — \frac{\pi }{2} + 2\pi k,}\end{array}\;\;\;\;k \in Z} \right.}\\{\sin x < 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = — \frac{\pi }{3} + 2\pi k,}\\{x = — \frac{\pi }{2} + 2\pi k,}\end{array}\;\;\;\;k \in Z.} \right.\) \(x = — \frac{\pi }{2};\;\;\;x = — \frac{\pi }{3}.\) Ответ: а) \( — \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\, — \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\,\;\;k \in Z;\) б) \( — \frac{\pi }{2};\,\,\,\, — \frac{\pi }{3}\).
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\;\;\frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: