35В. а) Решите уравнение \(\frac{{2\sin 2x + 2\sqrt 2 \sin x + 2\sqrt 3 \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} — x} \right) — \sqrt 6 }}{{{\rm{tg}}\,x + 1}} = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;\;\;\frac{\pi }{2}} \right].\)
a) \(\frac{{2\sin 2x + 2\sqrt 2 \sin x + 2\sqrt 3 \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} — x} \right) — \sqrt 6 }}{{{\rm{tg}}\,x + 1}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sin 2x + 2\sqrt 2 \sin x + 2\sqrt 3 \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} — x} \right) — \sqrt 6 = 0,}\\{{\rm{tg}}\,x + 1 \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \(2\sin 2x + 2\sqrt 2 \sin x + 2\sqrt 3 \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} — x} \right) — \sqrt 6 = 0.\) Воспользуемся формулами приведения и синуса двойного угла: \(\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} — x} \right) = — \cos x,\) \(\sin 2x = 2\sin x\cos x.\) Тогда уравнение примет вид: \(4\sin x\cos x + 2\sqrt 2 \sin x — 2\sqrt 3 \cos x — \sqrt 6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;2\sin x\left( {2\cos x + \sqrt 2 } \right) — \sqrt 3 \left( {2\cos x + \sqrt 2 } \right) = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left( {2\cos x + \sqrt 2 } \right)\left( {2\sin x — \sqrt 3 } \right) = 0.\) Тогда исходное уравнение равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {2\cos x + \sqrt 2 } \right)\left( {2\sin x — \sqrt 3 } \right) = 0,}\\{{\rm{tg}}\,x + 1 \ne 0\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = — \frac{{\sqrt 2 }}{2},}\\{\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\;\;}\end{array}} \right.}\\{{\rm{tg}}\,x \ne — 1\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\\{x = \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\;\;\;\,}\\{x = \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\;\,\,}\end{array}} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne -\frac{\pi }{4} + 2\pi n,\;\,}\\{x \ne \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi n,\;\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;k,n \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -\frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\\{x = \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;\,\;\,}\\{x = \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\,\,\,}\end{array}\;\;\;\;k \in Z.} \right.\) \(x = — \frac{{3\pi }}{4};\;\;\;x = \frac{\pi }{3}.\) Ответ: а) \( — \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\frac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{{3\pi }}{4};\,\,\,\,\,\frac{\pi }{3}\).
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\;\;\frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: