36В. а) Решите уравнение \(\frac{{2\cos x — 3}}{{2\cos x — 1}} + \frac{1}{{2{{\cos }^2}x — \cos x}} = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 4\pi ;\; — \frac{{5\pi }}{2}} \right].\)
а) \(\frac{{2\cos x — 3}}{{2\cos x — 1}} + \frac{1}{{2{{\cos }^2}x — \cos x}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2\cos x — 3}}{{2\cos x — 1}} + \frac{1}{{\cos x\left( {2\cos x — 1} \right)}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2{{\cos }^2}x-3\cos x + 1}}{{\cos x\left( {2\cos x-1} \right)}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{{\cos }^2}x-3\cos x + 1 = 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{2\cos x-1 \ne 0,}\\{\cos x \ne 0.\;\;\;\;\;\,\,\,}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \(2{\cos ^2}x — 3\cos x + 1 = 0.\) Пусть \(\cos x = t,\;\;\;\;t \in \left[ { — 1;1} \right].\) Уравнение примет вид: \(2{t^2} — 3t + 1 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{1}{2},}\\{{t} = 1.\;}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \frac{1}{2},}\\{\cos x = 1\,\,\,\,}\end{array}\;} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x \ne \frac{1}{2},}\\{\cos x \ne 0\,\,\,}\end{array}\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 1,\,\,\;\;\,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x \ne \frac{1}{2},}\\{\cos x \ne 0\,\,\,}\end{array}\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) Ответ: а) \(2\pi k,\,\;\,\;k \in Z;\) б) \( — 4\pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 4\pi ;\; — \frac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: \(x = — 4\pi .\)