37В. а) Решите уравнение \(\frac{{2\left( {\cos x + \sin x} \right) + 1 — \cos 2x}}{{2\left( {1 + \sin x} \right)}} = \sqrt 3 + \sin x;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\, — 7;\,\,6} \right].\)
ОТВЕТ: а) \( — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{{13\pi }}{6};\,\,\,\, — \frac{\pi }{6};\,\,\,\,\,\frac{{11\pi }}{6}\).
a) \(\frac{{2\left( {\cos x + \sin x} \right) + 1 — \cos 2x}}{{2\left( {1 + \sin x} \right)}} = \sqrt 3 + \sin x\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2\cos x + 2\sin x + 1 — \cos 2x — 2\sqrt 3 — 2\sin x — 2\sqrt 3 \sin x — 2{{\sin }^2}x}}{{2\left( {1 + \sin x} \right)}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2\cos x + 1 — \cos 2x — 2\sqrt 3 — 2\sqrt 3 \sin x — 2{{\sin }^2}x}}{{2\left( {1 + \sin x} \right)}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\cos x + 1 — \cos 2x — 2\sqrt 3 — 2\sqrt 3 \sin x — 2{{\sin }^2}x = 0,}\\{1 + \sin x \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \(2\cos x + 1 — \cos 2x — 2\sqrt 3 — 2\sqrt 3 \sin x — 2{\sin ^2}x = 0.\) Так как \(\cos 2x = 1 — 2{\sin ^2}x,\) то уравнение примет вид: \(2\cos x + 1 — 1 + 2{\sin ^2}x — 2\sqrt 3 — 2\sqrt 3 \sin x — 2{\sin ^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;2\cos x — 2\sqrt 3 — 2\sqrt 3 \sin x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt 3 \sin x — \cos x = — \sqrt 3 .\) Получили уравнение вида: \(a\sin x + b\cos x = c,\;\;\)где \(\;a = \sqrt 3 ,\,\,\,\,b = — 1,\;\;c = — \sqrt 3 .\) Разделим обе части исходного уравнения на \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\;\) то есть на \(\sqrt {{1^2} + {{\sqrt 3 }^2}} = 2\). \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x — \frac{1}{2}\cos x = — \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos \frac{\pi }{6}\sin x — \sin \frac{\pi }{6}\cos x = — \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin \left( {x — \frac{\pi }{6}} \right) = — \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) Тогда исходное уравнение равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \left( {x — \frac{\pi }{6}} \right) = — \frac{{\sqrt 3 }}{2},}\\{\sin x \ne — 1\;\;\,\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x — \frac{\pi }{6} = — \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;}\\{x — \frac{\pi }{6} = — \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k}\end{array}\;\;\;\;\;\;} \right.}\\{x \ne — \frac{\pi }{2} + 2\pi n,\;\;\;n \in Z\;\;\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;}\\{x = — \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\,}\end{array}} \right.}\\{x \ne — \frac{\pi }{2} + 2\pi n,\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\,\;k,n \in Z\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\,\;\;x = — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\, — 7;\,\,6} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\): \( — 7 \le — \frac{\pi }{6} + 2\pi k \le 6\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\, — 7 + \frac{\pi }{6} \le 2\pi k \le 6 + \frac{\pi }{6}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\, — \frac{7}{{2\pi }} + \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{3}{\pi } + \frac{1}{{12}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = — 1,\,\,\,\,\,k = 0,\,\,\,\,\,k = 1.\) При \(k = — 1,\) \(x = — \frac{\pi }{6} — 2\pi = — \frac{{13\pi }}{6}.\) При \(k = 0,\) \(x = — \frac{\pi }{6}.\) При \(k = 1,\) \(x = — \frac{\pi }{6} + 2\pi = \frac{{11\pi }}{6}.\) Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни: \(x = — \frac{{13\pi }}{6};\;\,\,\,\;\;x = — \frac{\pi }{6};\;\;\,\,\;x = \frac{{11\pi }}{6}.\) Ответ: а) \( — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{{13\pi }}{6};\,\,\,\, — \frac{\pi }{6};\,\,\,\,\,\frac{{11\pi }}{6}\).