38В. а) Решите уравнение \(\left( {4{{\cos }^4}x — 1} \right)\sqrt {\sin x} = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;\;\;\dfrac{\pi }{2}} \right].\)
ОТВЕТ: а) \(\pi k,\,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \pi ;\;\;\;0;\;\;\;\dfrac{\pi }{4}.\)
а) \(\left( {4{{\cos }^4}x — 1} \right)\sqrt {\sin x} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{{\cos }^4}x — 1 = 0,}\\{\sin x = 0\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,\,}\end{array}} \right.}\\{\sin x \ge 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\) Решим первое уравнение системы: \(4{\cos ^4}x — 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {2{{\cos }^2}x} \right)^2} — {1^2} = 0.\) Воспользуемся формулой \({a^2} — {b^2} = \left( {a — b} \right)\left( {a + b} \right).\) Тогда уравнение примет вид: \(\left( {2{{\cos }^2}x — 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{{\cos }^2}x = 1,\;\;\,}\\{2{{\cos }^2}x = — 1.}\end{array}} \right.\) Уравнение \(2{\cos ^2}x = — 1\) не имеет решений, поэтому исходное уравнение равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{{\cos }^2}x = 1,}\\{\sin x = 0\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.}\\{\sin x \ge 0\,\;\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2},}\\{\sin x = 0\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.}\\{\sin x \ge 0\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\,\,\,\,}\\{x = — \dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\,\,}\\{x = — \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\\{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}\;\;\;\;k \in Z} \right.}\\{\sin x \ge 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{x = \dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;}\\{x = \dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = — \pi ;\;\;\;x = 0;\;\;\;x = \dfrac{\pi }{4}.\) Ответ: а) \(\pi k,\,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\dfrac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \pi ;\;\;\;0;\;\;\;\dfrac{\pi }{4}.\) 
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\;\;\dfrac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: