38В. а) Решите уравнение  \(\left( {4{{\cos }^4}x — 1} \right)\sqrt {\sin x}  = 0;\)

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;\;\;\frac{\pi }{2}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\pi k,\,\,\,\,\,\frac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)

б) \( — \pi ;\;\;\;0;\;\;\;\frac{\pi }{4}.\)

Решение

а)

\(\left( {4{{\cos }^4}x — 1} \right)\sqrt {\sin x}  = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{{\cos }^4}x — 1 = 0,}\\{\sin x = 0\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,\,}\end{array}} \right.}\\{\sin x \ge 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\)

Решим первое уравнение системы:

 \(4{\cos ^4}x — 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {2{{\cos }^2}x} \right)^2} — {1^2} = 0.\)

Воспользуемся формулой \({a^2} — {b^2} = \left( {a — b} \right)\left( {a + b} \right).\) Тогда уравнение примет вид:

\(\left( {2{{\cos }^2}x — 1} \right)\left( {2{{\cos }^2}x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{{\cos }^2}x = 1,\;\;\,}\\{2{{\cos }^2}x =  — 1.}\end{array}} \right.\)

Уравнение \(2{\cos ^2}x =  — 1\) не имеет решений, поэтому исходное уравнение равносильно системе:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{{\cos }^2}x = 1,}\\{\sin x = 0\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.}\\{\sin x \ge 0\,\;\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x =  \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2},}\\{\sin x = 0\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.}\\{\sin x \ge 0\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\,\,\,\,}\\{x =  — \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\,\,}\\{x =  — \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\\{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}\;\;\;\;k \in Z} \right.}\\{\sin x \ge 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{x = \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;}\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\;\;\frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x =  — \pi ;\;\;\;x = 0;\;\;\;x = \frac{\pi }{4}.\)

Ответ:  а)  \(\pi k,\,\,\,\,\,\frac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\)

             б)  \( — \pi ;\;\;\;0;\;\;\;\frac{\pi }{4}.\)