39В. а) Решите уравнение \(\left( {4{\sin} ^4x — 1} \right)\sqrt { — \cos x} = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\pi ;\;\;\frac{{5\pi }}{2}} \right].\)
а) \(\left( {4{\sin} ^4x — 1} \right)\sqrt { — \cos x} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{{\sin }^4}x — 1 = 0,}\\{\cos x = 0\,\;\;\;\;\;\,\;\,\,}\end{array}} \right.}\\{ — \cos x \ge 0.\,\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\) Решим первое уравнение системы: \(4{\sin} ^4x — 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {2{{\sin }^2}x} \right)^2} — {1^2} = 0.\) Воспользуемся формулой \({a^2} — {b^2} = \left( {a — b} \right)\left( {a + b} \right).\) Тогда уравнение примет вид: \(\left( {2{{\sin }^2}x — 1} \right)\left( {2{{\sin }^2}x + 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{{\sin }^2}x = 1,\;\;\,}\\{2{{\sin }^2}x = — 1.}\end{array}} \right.\) Уравнение \(2{\sin ^2}x = — 1\) не имеет решений, поэтому исходное уравнение равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{{\sin }^2}x = 1,\;}\\{\cos x = 0\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.}\\{\cos x \le 0\,\;\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2},\;}\\{\cos x = 0\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.}\\{\cos x \le 0\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\,\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\,\,\,\,}\\{x = — \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\,\,\,}\\{x = — \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\\{x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\,\,\,\;\,\,}\end{array}\;\,\;\,\;k \in Z} \right.}\\{\cos x \le 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\,\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\\{x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = — \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi = \frac{{5\pi }}{4};\;\,\;\;x = \frac{\pi }{2} + \pi = \frac{{3\pi }}{2};\;\,\;\;x = \frac{\pi }{2} + 2\pi = \frac{{5\pi }}{2}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\;\,\,\frac{\pi }{2} + \pi k,\,\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{{5\pi }}{4};\;\;\;\frac{{3\pi }}{2};\;\;\;\frac{{5\pi }}{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;\;\;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\), с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: