4В. а) Решите уравнение \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} — \frac{3}{{\sin x}} + 2 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{2}; — \pi } \right].\)
а) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} — \frac{3}{{\sin x}} + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2{{\sin }^2}x — 3\sin x + 1}}{{{{\sin }^2}x}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{{\sin }^2}x — 3\sin x + 1 = 0,}\\{{{\sin }^2}x \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \(2{\sin ^2}x — 3\sin x + 1.\) Пусть \(\sin x = t,\;\;\;\;t \in \left[ { — 1;1} \right].\) Уравнение примет вид: \(2{t^2} — 3t + 1 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{1}{2},}\\{{t} = 1.\;}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \frac{1}{2},}\\{\sin x = 1\;\;}\end{array}} \right.}\\{\sin x \ne 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\;}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\\{x = \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\,\;}\end{array}} \right.}\\{x \ne \pi n,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;k,n \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\,\;}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\\{x = \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{6} — 2\pi = — \frac{{11\pi }}{6};\;\;\;\;x = \frac{\pi }{2} — 2\pi = — \frac{{3\pi }}{2};\;\;\;\;x = \frac{{5\pi }}{6} — 2\pi = — \frac{{7\pi }}{6}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\;\;\;\frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\;\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\) б) \( — \frac{{11\pi }}{6};\;\;\;\; — \frac{{3\pi }}{2};\;\;\;\; — \frac{{7\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{2}; — \pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: