5В. а) Решите уравнение \(4{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x + \frac{3}{{\cos x}} + 3 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{{5\pi }}{2};4\pi } \right].\)
а) \(4{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x + \frac{3}{{\cos x}} + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{4{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{3}{{\cos x}} + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{4{{\sin }^2}x + 3\cos x + 3{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{{\sin }^2}x + 3\cos x + 3{{\cos }^2}x,}\\{{{\cos }^2}x \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \(4{\sin ^2}x + 3\cos x + 3{\cos ^2}x = 0.\) Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \({\sin ^2}x = 1 — {\cos ^2}x.\) Тогда уравнение примет вид: \(4 — 4{\cos ^2}x + 3\cos x + 3{\cos ^2}x = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\cos ^2}x — 3\cos x — 4 = 0.\) Пусть \(\cos x = t,\;\;\;\;t \in \left[ { — 1;1} \right].\) Уравнение примет вид: \({t^2} — 3t — 4 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = — 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{t} = 4 \notin \left[ { — 1;1} \right].\;}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = — 1,}\\{\cos x \ne 0\,\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi + 2\pi k,}\\{x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;k,n \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pi + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \pi + 2\pi = 3\pi .\) Ответ: а) \(\pi + 2\pi k,\;\;\;k \in Z;\) б) \(3\pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{5\pi }}{2};4\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: