6В. а) Решите уравнение \({\rm{tg}}\,x + \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} — 2x} \right) = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;\frac{\pi }{2}} \right].\)
a) \({\rm{tg}}\,x + \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} — 2x} \right) = 0.\) Воспользуемся формулой приведения: \(\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} — 2x} \right) = — \sin 2x.\) Тогда уравнение примет вид: \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}} — \sin 2x = 0.\) Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид: \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}} — 2\sin x\cos x = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\frac{{\sin x — 2\sin x{{\cos }^2}x}}{{\cos x}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x — 2\sin x{{\cos }^2}x = 0,}\\{\cos x \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x\left( {1 — 2{{\cos }^2}x} \right) = 0,}\\{\cos x \ne 0.\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \(\sin x\left( {1 — 2{{\cos }^2}x} \right) = 0.\) Так как \(2{\cos ^2}x — 1 = \cos 2x,\) то \(1 — 2{\cos ^2}x = — \cos 2x.\) Тогда уравнение примет вид: \( — \sin x\cos 2x = 0.\) Тогда исходное уравнение равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;}\\{\cos 2x = 0}\end{array}} \right.}\\{\cos x \ne 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{2x = \frac{\pi }{2} + \pi k,}\end{array}} \right.}\\{x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},\;\;\;}\end{array}} \right.}\\{x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;k,n \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},\;\;\;}\end{array}k \in Z.} \right.\) \(x = — \pi ;\,\;\;\,x = \frac{\pi }{4} — \pi = — \frac{{3\pi }}{4};\;\;\,\,\,x = \frac{\pi }{4} — \frac{\pi }{2} = — \frac{\pi }{4};\,\,\;\;\,x = 0;\;\;\,\,x = \frac{\pi }{4}.\) Ответ: а) \(\pi k,\;\;\;\,\frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},\,\,\,\;\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \pi ;\,\;\, — \frac{{3\pi }}{4};\;\,\,\, — \frac{\pi }{4};\,\,\;\,0;\;\;\,\frac{\pi }{4}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: