7В. а) Решите уравнение \({\rm{ctg}}\,x + \cos \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) = 0;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{\pi }{2};\pi } \right].\)
а) \({\rm{ctg}}\,x + \cos \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) = 0.\) Воспользуемся формулой приведения: \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) = — \sin 2x.\) Тогда уравнение примет вид: \(\frac{{\cos x}}{{\sin x}} — \sin 2x = 0.\) Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид: \(\frac{{\cos x}}{{\sin x}} — 2\sin x\cos x = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\frac{{\cos x — 2{{\sin }^2}x\cos x}}{{\sin x}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x — 2{{\sin }^2}x\cos x = 0,}\\{\sin x \ne 0\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x\left( {1 — 2{{\sin }^2}x} \right) = 0,}\\{\sin x \ne 0.\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \(\cos x\left( {1 — 2{{\sin }^2}x} \right) = 0.\) Так как \(1 — 2{\sin ^2}x = \cos 2x,\) то уравнение примет вид: \(\cos x\cos 2x = 0.\) Тогда исходное уравнение равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,\;\;}\\{\cos 2x = 0\,}\end{array}} \right.}\\{\sin x \ne 0\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;}\\{2x = \frac{\pi }{2} + \pi k,}\end{array}} \right.}\\{x \ne \pi n,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + \pi k,}\\{x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},}\end{array}} \right.}\\{x \ne \pi n,\;\;\;\;\;\,\,\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\,k,n \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\,}\\{x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},}\end{array}\;\;\;\;k \in Z.} \right.\) \(x = \frac{\pi }{2} — \pi = — \frac{\pi }{2};\,\,\;\,\,x = \frac{\pi }{4} — \frac{\pi }{2} = — \frac{\pi }{4};\) \(x = \frac{\pi }{4};\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{\pi }{2};\;\;\,\,\,\,x = \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2} = \frac{{3\pi }}{4}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{2} + \pi k,\;\,\,\,\,\,\frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},\;\;\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{\pi }{2};\,\,\;\, — \frac{\pi }{4};\;\;\,\,\frac{\pi }{4};\;\;\,\,\frac{\pi }{2};\;\;\,\,\frac{{3\pi }}{4}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{\pi }{2};\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: