8В. а) Решите уравнение \(1 + {\rm{ctg}}\,2x = \frac{1}{{\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} — 2x} \right)}};\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 2\pi ; — \frac{\pi }{2}} \right].\)
а) \(1 + {\rm{ctg}}\,2x = \frac{1}{{\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} — 2x} \right)}}.\) Воспользуемся формулой приведения: \(\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} — 2x} \right) = — \sin 2x.\) Тогда уравнение примет вид: \(1 + \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}} = — \frac{1}{{\sin 2x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\sin 2x + \cos 2x + 1}}{{\sin 2x}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin 2x + \cos 2x + 1 = 0,}\\{\sin 2x \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \(\sin 2x + \cos 2x + 1 = 0.\) Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\;\,\,\,\,\,\cos 2x = 2{\cos ^2}x — 1,\) то уравнение примет вид: \(2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x — 1 + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x\left( {2\sin x + 2\cos x} \right) = 0.\) Тогда исходное уравнение равносильно системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x\left( {2\sin x + 2\cos x} \right) = 0,\,}\\{\sin 2x \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,\;\;}\\{{\rm{tg}}\,x = -1\,\;\;\,}\end{array}} \right.}\\{\sin 2x \ne 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;}\\{x = -\frac{\pi }{4} + \pi k,\,}\end{array}\;\;} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{2x \ne 2\pi n,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{2x \ne \pi + 2\pi n}\end{array}\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;}\\{x = -\frac{\pi }{4} + \pi k,}\end{array}} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \pi n,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n\;\,}\end{array}\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\,k,n \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x = -\frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;k \in Z.\;\) \(x = — \frac{\pi }{4} — \pi = — \frac{{5\pi }}{4}.\) Ответ: а) \( — \frac{\pi }{4} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z;\) б) \( — \frac{{5\pi }}{4}\).
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 2\pi ; — \frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: