9В. а) Решите уравнение \(\sin x\left( {2\sin x — 3{\rm{ctg}}\,x} \right) = 3;\)
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{{3\pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right].\)
а) \(\sin x\left( {2\sin x — 3{\rm{ctg}}\,x} \right) = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\left( {2\sin x — 3\frac{{\cos \,x}}{{\sin x}}} \right) — 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{{\sin }^2}x — 3\cos \,x — 3 = 0,}\\{\sin x \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \(2{\sin ^2}x — 3\cos \,x — 3 = 0.\) Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \({\sin ^2}x = 1 — {\cos ^2}x.\) Тогда уравнение примет вид: \(2{\cos ^2}x + 3\cos \,x + 1 = 0.\) Пусть \(\cos x = t,\;\;\;\;t \in \left[ { — 1;1} \right].\) Уравнение примет вид: \(2{t^2} + 3t + 1 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = — 1,\,\;\,}\\{{t} = — \frac{1}{2}.\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = -1,}\\{\cos x = -\frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\\{\sin x \ne 0\,\;\;\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi + 2\pi k,\;\;\,\;\;}\\{x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \pi + 2\pi n,}\\{x \ne 2\pi n,\,\;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\;\;k,n \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\;\,\,\,k \in Z.\) \(\;x = \frac{{2\pi }}{3} — 2\pi = — \;\frac{{4\pi }}{3};\;\,\,\,\,\,\;x = — \;\frac{{2\pi }}{3}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\;\;k \in Z;\) б) \(\; — \;\frac{{4\pi }}{3};\;\; — \;\frac{{2\pi }}{3}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{3\pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: