а)
\({16^{\sin x}} = {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^{2\sin 2x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{4^{2\sin x}} = {4^{ — 2\sin 2x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x = — 2\sin 2x.\)
Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид:
\(2\sin x = — 4\sin x\cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;\sin x\left( {2 + 4\cos x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\,\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\,}\\{\cos x = — \dfrac{1}{2}}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,}\\{x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2\pi ;\dfrac{{7\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = 2\pi ;\,\;\,\,\,\,x = \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi = \dfrac{{8\pi }}{3};\;\,\,\;\,\,x = 3\pi ;\,\;\;\,\,x = — \dfrac{{2\pi }}{3} + 4\pi = \dfrac{{10\pi }}{3}.\)
Ответ: а) \(\pi k,\;\; \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\;\;k \in Z;\)
б) \(2\pi ;\,\;\dfrac{{8\pi }}{3};\;\;3\pi ;\,\;\;\dfrac{{10\pi }}{3}.\)