1В. а) Решите уравнение  \({16^{\sin x}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{2\sin 2x}}\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {2\pi ;\frac{{7\pi }}{2}} \right].\)

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\pi k,\;\; \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\;\;k \in Z;\)

б) \(2\pi ;\,\;\frac{{8\pi }}{3};\;\;3\pi ;\,\;\;\frac{{10\pi }}{3}.\)

Решение

а)

\({16^{\sin x}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{2\sin 2x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{4^{2\sin x}} = {4^{ — 2\sin 2x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin x =  — 2\sin 2x.\)

Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид:

\(2\sin x =  — 4\sin x\cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;\sin x\left( {2 + 4\cos x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\,\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;\,}\\{\cos x =  — \frac{1}{2}}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,}\\{x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2\pi ;\frac{{7\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x = 2\pi ;\,\;\,\,\,\,x = \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi  = \frac{{8\pi }}{3};\;\,\,\;\,\,x = 3\pi ;\,\;\;\,\,x =  — \frac{{2\pi }}{3} + 4\pi  = \frac{{10\pi }}{3}.\)

Ответ:  а) \(\pi k,\;\; \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\;\;k \in Z;\)

б) \(2\pi ;\,\;\frac{{8\pi }}{3};\;\;3\pi ;\,\;\;\frac{{10\pi }}{3}.\)