10В. а) Решите уравнение \({9^{\sin x}} + {9^{ — \sin x}} = \frac{{10}}{3}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \,\frac{{7\pi }}{2}; — 2\pi } \right]\).
а) \({9^{\sin x}} + {9^{ — \sin x}} = \frac{{10}}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{9^{\sin x}} + \frac{1}{{{9^{\sin x}}}} = \frac{{10}}{3}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3 \cdot {9^{2\sin x}} — 10 \cdot {9^{\sin x}} + 3 = 0.\) Пусть \({9^{\sin x}} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \(3{t^2} — 10t + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 3,\,}\\{{t} = \frac{1}{3}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{9^{\sin x}} = 3,}\\{{9^{\sin x}} = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{2\sin x}} = {3^1},\,}\\{{3^{2\sin x}} = {3^{ — 1}}}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sin x = 1,\,\,}\\{2\sin x = — 1}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \frac{1}{2},\;}\\{\sin x = — \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\;}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\,\,\,\,}\\{x = — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{x = — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm \frac{\pi }{6} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = — \frac{\pi }{6} — 3\pi = — \;\frac{{19\pi }}{6};\;\,\;\,\;x = \frac{\pi }{6} — 3\pi = — \;\frac{{17\pi }}{6};\) \(x = — \frac{\pi }{6} — 2\pi = — \;\frac{{13\pi }}{6}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{\pi }{6} + \pi k,\;\,\;k \in Z;\) б) \( — \;\frac{{19\pi }}{6};\;\;\; — \;\frac{{17\pi }}{6};\;\; — \;\frac{{13\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \,\frac{{7\pi }}{2}; — 2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: