11В. а) Решите уравнение \({4^{\sin x}} + {4^{ — \sin x}} = \frac{5}{2}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{{5\pi }}{2};\,4\pi } \right]\).
а) \({4^{\sin x}} + {4^{ — \sin x}} = \frac{5}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{4^{\sin x}} + \frac{1}{{{4^{\sin x}}}} = \frac{5}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2 \cdot {4^{2\sin x}} — 5 \cdot {4^{\sin x}} + 2 = 0.\) Пусть \({4^{\sin x}} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \(2{t^2} — 5t + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 2,\,}\\{{t} = \frac{1}{2}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{4^{\sin x}} = 2,}\\{{4^{\sin x}} = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{2\sin x}} = {2^1},\,}\\{{2^{2\sin x}} = {2^{ — 1}}}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sin x = 1,\,\,}\\{2\sin x = — 1}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \frac{1}{2},\;}\\{\sin x = — \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\;}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\,\,\,\,}\\{x = — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{x = — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm \frac{\pi }{6} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = — \frac{\pi }{6} + 3\pi = \frac{{17\pi }}{6};\;\,\,\;\;x = \frac{\pi }{6} + 3\pi = \frac{{19\pi }}{6};\;\,\;\,\,x = — \frac{\pi }{6} + 4\pi = \;\frac{{23\pi }}{6}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{\pi }{6} + \pi k,\;\,\;k \in Z;\) б) \(\frac{{17\pi }}{6};\;\;\;\frac{{19\pi }}{6};\;\;\frac{{23\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{5\pi }}{2};\,4\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: