а)
\({\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^{\cos x}} + {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^{\cos x}} = 2\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^{\cos x}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^{\cos x}}}} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^{2\cos x}} — 2 \cdot {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^{\cos x}} + 1 = 0.\)
Пусть \({\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^{\cos x}} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид:
\({t^2} — 2t + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {t — 1} \right)^2} = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t = 1.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\({\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^{\cos x}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^{\cos x}} = {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^0}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x = 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\,k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \,3\pi ; — \dfrac{{3\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = \dfrac{\pi }{2} — 3\pi = — \dfrac{{5\pi }}{2};\;\;\,\,\;x = \dfrac{\pi }{2} — 2\pi = — \dfrac{{3\pi }}{2}.\)
Ответ: а) \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k,\;\,\;k \in Z;\)
б) \( — \dfrac{{5\pi }}{2};\;\;\; — \dfrac{{3\pi }}{2}.\)