13В. а) Решите уравнение \({0,4^{\sin x}} + {2,5^{\sin x}} = 2\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {2\pi ;\frac{{7\pi }}{2}} \right]\).
а) \({0,4^{\sin x}} + {2,5^{\sin x}} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;{0,4^{\sin x}} + \frac{1}{{{{0,4}^{\sin x}}}} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;{0,4^{2\sin x}} — 2 \cdot {0,4^{\sin x}} + 1 = 0.\) Пусть \({0,4^{\sin x}} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2} — 2t + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {t — 1} \right)^2} = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t = 1.\) Вернёмся к прежней переменной: \({0,4^{\sin x}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{0,4^{\sin x}} = {0,4^0}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x = 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pi k,\;\;\;\,k \in Z.\) Ответ: а) \(\pi k,\;\,\;k \in Z;\) б) \(2\pi ;\,\;\,3\pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2\pi ;\frac{{7\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: \(x = 2\pi ;\;\;\;x = 3\pi .\)