15В. а) Решите уравнение  \(\frac{{{{49}^{{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x}}}}{{{7^{2\sqrt 3 {\rm{tg}}\,x}}}} = {8^{2\sqrt 3 {\rm{tg}}\,x — 2{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x}}\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {2\pi ;\frac{{11\pi }}{4}} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\pi k,\;\;\,\frac{\pi }{3} + \pi k,\;\,\;k \in Z;\)

б) \(2\pi ;\;\;\frac{{7\pi }}{3}.\)

Решение

а)

\(\frac{{{{49}^{{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x}}}}{{{7^{2\sqrt 3 {\rm{tg}}\,x}}}} = {8^{2\sqrt 3 {\rm{tg}}\,x — 2{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x}}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{7^{{\rm{2t}}{{\rm{g}}^2}x}}}}{{{7^{2\sqrt 3 {\rm{tg}}\,x}}}} = {8^{2\sqrt 3 {\rm{tg}}\,x — 2{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x}}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{1}{{{7^{2\sqrt 3 {\rm{tg}}\,x — 2{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x}}}} = {8^{2\sqrt 3 {\rm{tg}}\,x — 2{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x}}\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{56^{2\sqrt 3 {\rm{tg}}\,x — 2{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x}} = {56^0}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sqrt 3 {\rm{tg}}\,x — 2{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{tg}}\,x\left( {2\sqrt 3  — 2{\rm{tg}}x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,x = 0,\;}\\{{\rm{tg}}x = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;}\\{x = \frac{\pi }{3} + \pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2\pi ;\frac{{11\pi }}{4}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x = 2\pi ;\;\,\,\,\,\,x = \frac{\pi }{3} + 2\pi  = \frac{{7\pi }}{3}.\)

Ответ:  а) \(\pi k,\;\;\,\frac{\pi }{3} + \pi k,\;\,\;k \in Z;\)

             б) \(2\pi ;\;\;\frac{{7\pi }}{3}.\)