16В. а) Решите уравнение \(8 \cdot {16^{{{\sin }^2}x}} — 2 \cdot {4^{\cos 2x}} = 63\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\;\frac{{7\pi }}{2};5\pi } \right]\).
а) \(8 \cdot {16^{{{\sin }^2}x}} — 2 \cdot {4^{\cos 2x}} = 63.\) Так как \(\cos 2x = 1 — 2{\sin ^2}x,\) то уравнение примет вид: \(8 \cdot {16^{{{\sin }^2}x}} — 2 \cdot {4^{1 — 2{{\sin }^2}x}} = 63\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;8 \cdot {16^{{{\sin }^2}x}} — 2 \cdot 4 \cdot {4^{ — 2{{\sin }^2}x}} = 63\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;8 \cdot {16^{{{\sin }^2}x}} — \frac{8}{{{{16}^{{{\sin }^2}x}}}} = 63\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;8 \cdot {16^{2{{\sin }^2}x}} — 63 \cdot {16^{{{\sin }^2}x}} — 8 = 0.\) Пусть \({16^{{{\sin }^2}x}} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \(8{t^2} — 63t — 8 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 8,\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{{t} = — \frac{1}{8} < 0.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \({16^{{{\sin }^2}x}} = 8\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{2^{4{{\sin }^2}x}} = {2^3}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4{\sin ^2}x = 3\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;\;\,\,}\\{x = \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\;\;}\\{x = — \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;}\\{x = — \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\,k \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm \frac{\pi }{3} + \pi k,\;\,\;k \in Z.\) \(x = — \frac{\pi }{3} + 4\pi = \frac{{11\pi }}{3};\,\,\,\;\,\,x = \frac{\pi }{3} + 4\pi = \frac{{13\pi }}{3};\;\,\,\,\,x = — \frac{\pi }{3} + 5\pi = \frac{{14\pi }}{3}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{\pi }{3} + \pi k,\;\,\;k \in Z;\) б) \(\frac{{11\pi }}{3};\,\;\,\frac{{13\pi }}{3};\;\,\,\frac{{14\pi }}{3}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\;\frac{{7\pi }}{2};5\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: