17В. а) Решите уравнение \({25^{{{\cos }^2}x}} — 4 \cdot {5^{ — \cos 2x}} = 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 3\pi ;\; — 2\pi } \right]\).
а) \({25^{{{\cos }^2}x}} — 4 \cdot {5^{ — \cos 2x}} = 1.\) Так как \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x — 1,\) то уравнение примет вид: \({25^{{{\cos }^2}x}} — 4 \cdot {5^{1 — 2{{\cos }^2}x}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{25^{{{\cos }^2}x}} — 4 \cdot 5 \cdot {5^{ — 2{{\cos }^2}x}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\,\;{25^{{{\cos }^2}x}} — \frac{{20}}{{{{25}^{{{\cos }^2}x}}}} = 1\;\,\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;{25^{2{{\cos }^2}x}} — {25^{{{\cos }^2}x}} — 20 = 0.\) Пусть \({25^{{{\cos }^2}x}} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2} — t — 20 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 5,\;\;\,\;\;\,\;\;\,}\\{{t} = — 4 < 0.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \({25^{{{\cos }^2}x}} = 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{5^{2{{\cos }^2}x}} = {5^1}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\cos ^2}x = 1\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;}\\{x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\,k \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},\;\,\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{4} — 3\pi = — \frac{{11\pi }}{4};\,\;\,\,\,x = \frac{\pi }{4} — \frac{{5\pi }}{2} = — \frac{{9\pi }}{4}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},\;\,\;k \in Z;\) б) \(\; — \frac{{11\pi }}{4};\;\; — \frac{{9\pi }}{4}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 3\pi ;\; — 2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: