18В. а) Решите уравнение  \(\frac{{\log _2^2\left( {\sin x} \right) + {{\log }_2}\left( {\sin x} \right)}}{{2\cos x — \sqrt 3 }} = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{\pi }{2};\;2\pi } \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\;\;\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\,\;k \in Z;\)

б) \(\frac{\pi }{2};\;\;\frac{{5\pi }}{6}.\)

Решение

а)

\(\frac{{\log _2^2\left( {\sin x} \right) + {{\log }_2}\left( {\sin x} \right)}}{{2\cos x — \sqrt 3 }} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{2\cos x — \sqrt 3  \ne 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\log _2^2\left( {\sin x} \right) + {{\log }_2}\left( {\sin x} \right) = 0\,\;\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{2\cos x \ne \sqrt 3 ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{{\log }_2}\left( {\sin x} \right)\left( {{{\log }_2}\left( {\sin x} \right) + 1} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\cos x \ne \frac{{\sqrt 3 }}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}\left( {\sin x} \right) = 0,\,}\\{{{\log }_2}\left( {\sin x} \right) =  — 1}\end{array}\;\;} \right.}\end{array}} \right.\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,\;\,\,\;\;\;}\\{\cos x \ne \frac{{\sqrt 3 }}{2},\;\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 1,}\\{\sin x = \frac{1}{2}}\end{array}\;\;\;\;\;} \right.\,\,\;}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}\sin x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\x \ne  \pm \frac{\pi }{6} + 2\pi n,\;\;\end{array}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\;}\\{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.}\end{array}\;\;\;k,n \in Z\;\;\;} \right. \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\,}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\,\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{\pi }{2};\;2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x = \frac{\pi }{2};\;\,\,\;x = \frac{{5\pi }}{6}.\)

Ответ:  а) \(\frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\;\;\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\,\;k \in Z;\)

             б) \(\frac{\pi }{2};\;\;\frac{{5\pi }}{6}.\)