19В. а) Решите уравнение \(\frac{{{4^{\sin 2x}} — {2^{2\sqrt 3 \sin x}}}}{{\sqrt {5\sin x} }} = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{{13\pi }}{2}; — 5\pi } \right]\).
а) \(\frac{{{4^{\sin 2x}} — {2^{2\sqrt 3 \sin x}}}}{{\sqrt {5\sin x} }} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{4^{\sin 2x}} — {2^{2\sqrt 3 \sin x}} = 0,}\\{\sin x > 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) Рассмотрим уравнение \({4^{\sin 2x}} — {2^{2\sqrt 3 \sin x}} = 0.\) Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид: \({4^{2\sin x\cos x}} = {2^{2\sqrt 3 \sin x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{4\sin x\cos x}} = {2^{2\sqrt 3 \sin x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4\sin x\cos x = 2\sqrt 3 \sin x\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;4\sin x\cos x — 2\sqrt 3 \sin x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\left( {4\cos x — 2\sqrt 3 } \right) = 0.\) Вернёмся к исходной системе: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,}\\{\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}} \right.}\\{\sin x > 0.\;\,\,\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \frac{\pi }{6} + 2\pi k,}\\{\sin x > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{6} — 6\pi = — \frac{{35\pi }}{6}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,\;k \in Z;\) б) \( — \frac{{35\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{13\pi }}{2}; — 5\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: