2В. а) Решите уравнение \({\left( {{{25}^{\cos x}}} \right)^{\sin x}} = {5^{\cos x}}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \dfrac{{5\pi }}{2}; — \pi } \right]\).
а) \({\left( {{{25}^{\cos x}}} \right)^{\sin x}} = {5^{\cos x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{5^2}^{\cos x\sin x} = {5^{\cos x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\cos x\sin x = \cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x\left( {2\sin x — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,\;\;\;\;\,\,}\\{2\sin x — 1 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\,\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,}\\{\sin x = \dfrac{1}{2}\,}\end{array}} \right.\;\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\,\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\,\,}\\{x = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{x = \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \dfrac{\pi }{2} — 3\pi = \; — \dfrac{{5\pi }}{2};\;\;\,\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{6} — 2\pi = — \;\dfrac{{11\pi }}{6};\) \(x = \dfrac{\pi }{2} — 2\pi = — \;\dfrac{{3\pi }}{2};\;\;\,\,\,\,x = \dfrac{{5\pi }}{6} — 2\pi = — \;\dfrac{{7\pi }}{6}.\) Ответ: а) \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;k \in Z;\) б) \( — \;\dfrac{{5\pi }}{2};\;\; — \;\dfrac{{11\pi }}{6};\;\; — \;\dfrac{{3\pi }}{2};\;\; — \;\dfrac{{7\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \dfrac{{5\pi }}{2}; — \pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: