20В. а) Решите уравнение \({\log _2}\left( {\cos x + \sin 2x + 8} \right) = 3\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};3\pi } \right]\).
а) \({\log _2}\left( {\cos x + \sin 2x + 8} \right) = 3\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;\cos x + \sin 2x + 8 = 8.\) Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, равно положительному числу равному 8, поэтому исследовать ОДЗ \(\cos x + \sin 2x + 8 > 0\) не требуется. Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то: \(\cos x + 2\sin x\cos x = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\cos x\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,\;\;\,}\\{\sin x = — \frac{1}{2}\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;\;\;}\\{x = — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{x = — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}\;\;\;\;k \in Z.} \right.\) \(x = \frac{\pi }{2} + \pi = \frac{{3\pi }}{2};\;\,\,\;\,x = — \frac{\pi }{6} + 2\pi = \frac{{11\pi }}{6};\;\,\,\,\;x = \frac{\pi }{2} + 2\pi = \frac{{5\pi }}{2}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{2} + \pi k,\;\; — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\; — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{{3\pi }}{2};\;\;\frac{{11\pi }}{6};\;\;\frac{{5\pi }}{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: