а)
\({\log _2}\left( {\cos x + \sin 2x + 8} \right) = 3\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;\cos x + \sin 2x + 8 = 8.\)
Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, равно положительному числу равному 8, поэтому исследовать ОДЗ \(\cos x + \sin 2x + 8 > 0\) не требуется.
Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то:
\(\cos x + 2\sin x\cos x = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\cos x\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,\;\;\,}\\{\sin x = — \dfrac{1}{2}\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;\;\;}\\{x = — \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{x = — \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}\;\;\;\;k \in Z.} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\dfrac{{3\pi }}{2};3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = \dfrac{\pi }{2} + \pi = \dfrac{{3\pi }}{2};\;\,\,\;\,x = — \dfrac{\pi }{6} + 2\pi = \dfrac{{11\pi }}{6};\;\,\,\,\;x = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi = \dfrac{{5\pi }}{2}.\)
Ответ: а) \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k,\;\; — \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\; — \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;k \in Z;\)
б) \(\dfrac{{3\pi }}{2};\;\;\dfrac{{11\pi }}{6};\;\;\dfrac{{5\pi }}{2}.\)