а)
\({\log _3}\left( {\sin 2x + \cos \left( {\pi — x} \right) + 9} \right) = 2\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 2x + \cos \left( {\pi — x} \right) + 9 = 9.\)
Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, равно положительному числу, равному 9, поэтому исследовать ОДЗ \(\sin 2x + \cos \left( {\pi -x} \right) + 9 > 0\) не требуется.
Воспользуемся формулами приведения и синуса двойного угла:
\(\cos \left( {\pi — x} \right) = — \cos x,\) \(\sin 2x = 2\sin x\cos x.\)
Тогда уравнение примет вид:
\(2\sin x\cos x — \cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x\left( {2\sin x — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,}\\{\sin x = \dfrac{1}{2}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{2} + \pi k,\;\,}\\{x = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{x = \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2\pi ;\,\;\dfrac{{7\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi = \dfrac{{13\pi }}{6};\;\;\;\;x = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi = \dfrac{{5\pi }}{2};\)
\(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi = \dfrac{{17\pi }}{6};\;\;\;\;x = \dfrac{\pi }{2} + 3\pi = \dfrac{{7\pi }}{2}.\)
Ответ: а) \(\dfrac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\;\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\)
б) \(\dfrac{{13\pi }}{6};\;\;\;\;\dfrac{{5\pi }}{2};\;\;\;\;\dfrac{{17\pi }}{6};\;\;\;\;\dfrac{{7\pi }}{2}.\)