21В. а) Решите уравнение \({\log _3}\left( {\sin 2x + \cos \left( {\pi — x} \right) + 9} \right) = 2\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {2\pi ;\,\;\frac{{7\pi }}{2}} \right]\).
а) \({\log _3}\left( {\sin 2x + \cos \left( {\pi — x} \right) + 9} \right) = 2\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 2x + \cos \left( {\pi — x} \right) + 9 = 9.\) Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, равно положительному числу, равному 9, поэтому исследовать ОДЗ \(\sin 2x + \cos \left( {\pi -x} \right) + 9 > 0\) не требуется. Воспользуемся формулами приведения и синуса двойного угла: \(\cos \left( {\pi — x} \right) = — \cos x,\) \(\sin 2x = 2\sin x\cos x.\) Тогда уравнение примет вид: \(2\sin x\cos x — \cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x\left( {2\sin x — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,}\\{\sin x = \frac{1}{2}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\,}\\{x = \frac{\pi }{6} + \pi k,\;\,}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + \pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{6} + 2\pi = \frac{{13\pi }}{6};\;\;\;\;x = \frac{\pi }{2} + 2\pi = \frac{{5\pi }}{2};\) \(x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi = \frac{{17\pi }}{6};\;\;\;\;x = \frac{\pi }{2} + 3\pi = \frac{{7\pi }}{2}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;\frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\;\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{{13\pi }}{6};\;\;\;\;\frac{{5\pi }}{2};\;\;\;\;\frac{{17\pi }}{6};\;\;\;\;\frac{{7\pi }}{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2\pi ;\,\;\frac{{7\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: