22В. а) Решите уравнение \({\log _4}\left( {{2^{2x}} — \sqrt 3 \cos x — \sin 2x} \right) = x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{\pi }{2};\,\,\frac{\pi }{2}} \right]\).
а) \({\log _4}\left( {{2^{2x}} — \sqrt 3 \cos x — \sin 2x} \right) = x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{2x}} — \sqrt 3 \cos x — \sin 2x = {4^x}.\) Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, равно показательной функции \({4^x},\) значение которой больше нуля при \(x \in R,\) поэтому исследовать ОДЗ \({2^{2x}}-\sqrt 3 \cos x-\sin 2x > 0\) не требуется. Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то: \({2^{2x}} — \sqrt 3 \cos x — 2\sin x\cos x = {2^{2x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt 3 \cos x + 2\sin x\cos x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x\left( {2\sin x + \sqrt 3 } \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,\;\;\;\;\;}\\{\sin x = — \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\,\;\,}\\{x = — \frac{\pi }{3} + \pi k,\;\,}\\{x = — \frac{{2\pi }}{3} + \pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{2} — \pi = — \frac{\pi }{2};\;\;\;\;x = — \frac{\pi }{3};\;\;\;\;x = \frac{\pi }{2}.\) Ответ: а) \( — \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;\;\; — \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\;\;\;\;\frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z;\) б) \( — \frac{\pi }{2};\;\;\;\; — \frac{\pi }{3};\;\;\;\;\frac{\pi }{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{\pi }{2};\,\,\frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: