23В. а) Решите уравнение \({\log _9}\left( {{3^{2x}} + 5\sqrt 2 \sin x — 6{{\cos }^2}x — 2} \right) = x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 2\pi ;\; — \frac{\pi }{2}} \right]\).
а) \({\log _9}\left( {{3^{2x}} + 5\sqrt 2 \sin x — 6{{\cos }^2}x — 2} \right) = x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{2x}} + 5\sqrt 2 \sin x — 6{\cos ^2}x — 2 = {9^x}.\) Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, равно показательной функции \({9^x},\) значение которой больше нуля при \(x \in R,\) поэтому исследовать ОДЗ \({3^{2x}} + 5\sqrt 2 \sin x-6{\cos ^2}x-2 > 0\) не требуется. Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \({\cos ^2}x = 1 — {\sin ^2}x.\) Тогда уравнение примет вид: \({3^{2x}} + 5\sqrt 2 \sin x — 6 + 6{\sin ^2}x — 2 = {3^{2x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;6{\sin ^2}x + 5\sqrt 2 \sin x — 8 = 0.\) Пусть \(\sin x = t,\;\;\;\;t \in \left[ { — 1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: \(6{t^2} + 5\sqrt 2 t — 8 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;D = 50 + 192 = 242,\;\;\;\;\sqrt D = 11\sqrt 2 \;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{{ — 5\sqrt 2 + 11\sqrt 2 }}{{12}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\;\;\,}\\{{t} = \frac{{ — 5\sqrt 2 — 11\sqrt 2 }}{{12}} = — \frac{{4\sqrt 2 }}{3} \notin \left[ { — 1;1} \right].}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\,}\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{4} — 2\pi = — \frac{{7\pi }}{4};\;\;\;\;x = \frac{{3\pi }}{4} — 2\pi = — \frac{{5\pi }}{4}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;\;\;\frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\) б) \( — \frac{{7\pi }}{4};\;\;\;\; — \frac{{5\pi }}{4}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 2\pi ;\; — \frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: