а)
\(2\log _3^2\left( {2\cos x} \right) — 5{\log _3}\left( {2\cos x} \right) + 2 = 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\log _3^2\left( {2\cos x} \right) — 5{{\log }_3}\left( {2\cos x} \right) + 2 = 0,}\\{\cos x > 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Рассмотрим уравнение:
\(2\log _3^2\left( {2\cos x} \right) — 5{\log _3}\left( {2\cos x} \right) + 2 = 0.\)
Пусть \({\log _3}\left( {2\cos x} \right) = t.\) Тогда уравнение примет вид:
\(2{t^2} — 5t + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \dfrac{1}{2},}\\{{t} = 2.\,}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}\left( {2\cos x} \right) = \dfrac{1}{2},}\\{{{\log }_3}\left( {2\cos x} \right) = 2\,\;}\end{array}} \right.}\\{\cos x > 0\,\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\cos x = \sqrt 3 ,}\\{2\cos x = 9\;\,\,\;}\end{array}} \right.}\\{\cos x > 0\,\;\,\;\;\;\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\cos x = \dfrac{9}{2} \notin \left[ { — 1;1} \right]\;\,\,\;}\end{array}} \right.}\\{\cos x > 0\,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\end{array}} \right.\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;\;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = — \dfrac{\pi }{6} + 2\pi = \dfrac{{11\pi }}{6};\;\;\;\;x = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi = \dfrac{{13\pi }}{6}.\)
Ответ: а) \( \pm \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\)
б) \(\dfrac{{11\pi }}{6};\;\;\;\;\dfrac{{13\pi }}{6}.\)