24В. а) Решите уравнение  \(2\log _3^2\left( {2\cos x} \right) — 5{\log _3}\left( {2\cos x} \right) + 2 = 0\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\pi ;\;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( \pm \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\)

б) \(\frac{{11\pi }}{6};\;\;\;\;\frac{{13\pi }}{6}.\)

Решение

а)

\(2\log _3^2\left( {2\cos x} \right) — 5{\log _3}\left( {2\cos x} \right) + 2 = 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\log _3^2\left( {2\cos x} \right) — 5{{\log }_3}\left( {2\cos x} \right) + 2 = 0,}\\{\cos x > 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим уравнение:

\(2\log _3^2\left( {2\cos x} \right) — 5{\log _3}\left( {2\cos x} \right) + 2 = 0.\)

Пусть \({\log _3}\left( {2\cos x} \right) = t.\) Тогда уравнение примет вид:

\(2{t^2} — 5t + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{1}{2},}\\{{t} = 2.\,}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_3}\left( {2\cos x} \right) = \frac{1}{2},}\\{{{\log }_3}\left( {2\cos x} \right) = 2\,\;}\end{array}} \right.}\\{\cos x > 0\,\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\cos x = \sqrt 3 ,}\\{2\cos x = 9\;\,\,\;}\end{array}} \right.}\\{\cos x > 0\,\;\,\;\;\;\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\cos x = \frac{9}{2} \notin \left[ { — 1;1} \right]\;\,\,\;}\end{array}} \right.}\\{\cos x > 0\,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\end{array}} \right.\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x =  \pm \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;\;\frac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x =  — \frac{\pi }{6} + 2\pi  = \frac{{11\pi }}{6};\;\;\;\;x = \frac{\pi }{6} + 2\pi  = \frac{{13\pi }}{6}.\)

Ответ:  а) \( \pm \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\)

             б) \(\frac{{11\pi }}{6};\;\;\;\;\frac{{13\pi }}{6}.\)