25В. а) Решите уравнение \(3\log _8^2\left( {\sin x} \right) — 5{\log _8}\left( {\sin x} \right) — 2 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{{7\pi }}{2}; — 2\pi } \right]\).
а) \(3\log _8^2\left( {\sin x} \right) — 5{\log _8}\left( {\sin x} \right) — 2 = 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3\log _8^2\left( {\sin x} \right) — 5{{\log }_8}\left( {\sin x} \right) — 2 = 0,}\\{\sin x > 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\end{array}} \right.\) Рассмотрим уравнение: \(3\log _8^2\left( {\sin x} \right) — 5{\log _8}\left( {\sin x} \right) — 2 = 0.\) Пусть \({\log _8}\left( {\sin x} \right) = t.\) Тогда уравнение примет вид: \(3{t^2} — 5t — 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = — \frac{1}{3},}\\{{t} = 2.\;\;\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_8}\left( {\sin x} \right) = — \frac{1}{3},}\\{{{\log }_8}\left( {\sin x} \right) = 2\;\;\,\;}\end{array}} \right.}\\{\sin x > 0\,\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \frac{1}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\sin x = 64 \notin \left[ { — 1;1} \right]}\end{array}\;\;\;\;} \right.}\\{\sin x > 0\,\,\;\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\;\,}\end{array}} \right.\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x = \frac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{{5\pi }}{6} — 4\pi = — \frac{{19\pi }}{6}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\;\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\) б) \( — \frac{{19\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{7\pi }}{2}; — 2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: