26В. а) Решите уравнение \(5\,{\sin ^2}x + 8\cos x + 1 = \left| {\,\cos x\,} \right| + {\cos ^2}x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{\pi }{2};\;2\pi } \right]\).
а) \(5\,{\sin ^2}x + 8\cos x + 1 = \left| {\,\cos x\,} \right| + {\cos ^2}x.\) Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \({\sin ^2}x = 1 — {\cos ^2}x.\) Тогда уравнение примет вид: \(5\, — 5{\cos ^2}x + 8\cos x + 1 = \left| {\,\cos x\,} \right| + {\cos ^2}x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;6{\cos ^2}x — 8\cos x + \left| {\,\cos x\,} \right| — 6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x \ge 0,\;\;\;\;\;\;\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{6{{\cos }^2}x — 7\cos x — 6 = 0}\end{array}\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x < 0,\;\;\;\;\;\;\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{6{{\cos }^2}x — 9\cos x — 6 = 0.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{6{{\cos }^2}x — 7\cos x — 6 = 0.}\end{array}\,} \right.\) Решим уравнение системы: \(6{\cos ^2}x — 7\cos x — 6 = 0.\) Пусть \(\cos x = t,\;\;\;\;t \in \left[ { — 1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: \(6{t^2} — 7t — 6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;D = 49 + 144 = 193,\;\;\;\;\sqrt D = \sqrt {193} \;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{{7 — \sqrt {193} }}{{12}},\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{{t} = \frac{{7 + \sqrt {193} }}{{12}} \notin \left[ { — 1;1} \right].}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x \ge 0,\;\;\,\,\;\;\;\,\,\;\;\;\,\,}\\{\cos x = \frac{{7 — \sqrt {193} }}{{12}}.}\end{array}} \right.\) Так как \(\frac{{7 — \sqrt {193} }}{{12}} < 0,\) то данная система не имеет решений. Рассмотрим вторую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x < 0,\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{6{{\cos }^2}x — 9\cos x — 6 = 0.}\end{array}\,} \right.\) Решим уравнение системы: \(6{\cos ^2}x — 9\cos x — 6 = 0.\) Пусть \(\cos x = t,\;\;\;\;t \in \left[ { — 1;1} \right].\) Тогда уравнение примет вид: \(6{t^2} — 9t — 6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = — \frac{1}{2},\;\;\,\;\;\;\,\;\;\,}\\{{t} = 2 \notin \left[ { — 1;1} \right].}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x < 0,\;\,\,}\\{\cos x = — \frac{1}{2}}\end{array}\,} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) Таким образом, решение исходного уравнения будет иметь вид: \(x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{{2\pi }}{3};\;\;\;\;x = — \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi = \frac{{4\pi }}{3}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{{2\pi }}{3};\;\;\;\;\frac{{4\pi }}{3}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{\pi }{2};\;2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: