27В. а) Решите уравнение  \(\left| {\,{\rm{ctg}}\,\left( {2x — \frac{{\rm{\pi }}}{2}} \right)\,} \right| = \frac{1}{{{{\cos }^2}2x}} — 1\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\;\frac{\pi }{2}} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{{\pi k}}{2},\;\;\;\; \pm \frac{\pi }{8} + \frac{{\pi k}}{2},\;\;\;\;k \in Z;\)

б) \(0;\,\;\;\;\frac{\pi }{8};\,\;\;\;\frac{{3\pi }}{8};\;\;\;\,\frac{\pi }{2}.\)

Решение

а) \(\left| {\,{\rm{ctg}}\,\left( {2x — \frac{{\rm{\pi }}}{2}} \right)\,} \right| = \frac{1}{{{{\cos }^2}2x}} — 1.\)

Воспользуемся формулой приведения: \({\rm{ctg}}\,\left( {2x — \frac{{\rm{\pi }}}{2}} \right) =  — {\rm{tg}}\,2x\)   и тем, что \(\frac{1}{{{{\cos }^2}2x}} — 1 = {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\,2x.\) Тогда уравнение примет вид:

\(\left| {\,{\rm{tg}}\,2x\,} \right| = {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\,2x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left| {\,{\rm{tg}}\,2x\,} \right| = \left| {\,{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\,2x\,} \right|\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\;\left| {\,{\rm{tg}}\,2x\,} \right|\left( {\;\left| {\,{\rm{tg}}\,2x\,} \right| — 1} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\;\left| {\,{\rm{tg}}\,2x\,} \right| = 0,}\\{\;\left| {\,{\rm{tg}}\,2x\,} \right| = 1\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{tg}}\,2x = 0,}\\{{\rm{tg}}\,2x =  \pm 1}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \pi k,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\,2x =  \pm \frac{\pi }{4} + \pi k}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{\pi k}}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\,x =  \pm \frac{\pi }{8} + \frac{{\pi k}}{2}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\;\frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x = 0;\,\;\;\;x = \frac{\pi }{8};\,\;\;\;x =  — \frac{\pi }{8} + \frac{\pi }{2} = \frac{{3\pi }}{8};\;\;\;\,x = \frac{\pi }{2}.\)

Ответ:  а) \(\frac{{\pi k}}{2},\;\;\;\; \pm \frac{\pi }{8} + \frac{{\pi k}}{2},\;\;\;\;k \in Z;\)

             б) \(0;\,\;\;\;\frac{\pi }{8};\,\;\;\;\frac{{3\pi }}{8};\;\;\;\,\frac{\pi }{2}.\)