28В. а) Решите уравнение  \(\frac{{\sin 2x}}{{\left| {\sin x} \right|}} = 1\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\;2\pi } \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{\pi }{3} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z;\)

б) \(\frac{\pi }{3};\;\;\;\,\frac{{4\pi }}{3}.\)

Решение

а) \(\frac{{\sin 2x}}{{\left| {\,\sin x\,} \right|}} = 1.\)

Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то:

\(\frac{{2\sin x\cos x}}{{\left| {\,\sin x\,} \right|}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{\frac{{2\sin x\cos x}}{{\sin x}} = 1}\end{array}\;\,\,\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{ — \frac{{2\sin x\cos x}}{{\sin x}} = 1\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,\,\,}\\{2\cos x = 1}\end{array}\;\;\;\,\,\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x < 0,\;\,\;\;\,}\\{ — 2\cos x = 1\,}\end{array}\;\;\,} \right.}\end{array}} \right.\;\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,\,\,}\\{\cos x = \frac{1}{2}\,}\end{array}\,\;\,\,\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x < 0,\;\;\,}\\{\cos  =  — \frac{1}{2}\;\,}\end{array}\;\;\,} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x =  \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z}\end{array}\;\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z}\end{array}} \right.}\end{array}\;\;} \right.\;\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x =  — \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\end{array}\;\;\;\,\,k \in Z\;\;} \right.\;\,\, \Leftrightarrow \,\;\;\;\,x = \frac{\pi }{3} + \pi k,\;\;\;\,\,k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\;2\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x = \frac{\pi }{3};\,\;\;\;\,\,x = \frac{\pi }{3} + \pi  = \frac{{4\pi }}{3}.\)

Ответ:  а) \(\frac{\pi }{3} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z;\)

             б) \(\frac{\pi }{3};\;\;\;\,\frac{{4\pi }}{3}.\)