29В. а) Решите уравнение  \(\frac{{\left| {\sin x} \right|}}{{\sin x}} = 1 — \cos 2x\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 2\pi ;\;0} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;\;\;\frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\)

б) \( — \frac{{7\pi }}{4};\;\;\;\, — \frac{{5\pi }}{4}.\)

Решение

а)

\(\frac{{\left| {\,\sin x\,} \right|}}{{\sin x}} = 1 — \cos 2x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{\frac{{\sin x}}{{\sin x}} = 1 — \cos 2x}\end{array}\;\,\,\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x < 0,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{ — \frac{{\sin x}}{{\sin x}} = 1 — \cos 2x\,}\end{array}} \right.}\end{array}\;\;} \right.\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,\,\,\,}\\{\cos 2x = 0}\end{array}\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\cos 2x = 2 \notin \left[ { — 1;1} \right]}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\,\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\,\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,\,\,\,}\\{\cos 2x = 0}\end{array}} \right.\;\;\,\;\; \Leftrightarrow \;\,\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{2x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},\;\;\;\;k \in Z}\end{array}} \right.\;\;\,\;\,\; \Leftrightarrow \,\;\,\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\,}\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,}\end{array}\;\;\;\;k \in Z.} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 2\pi ;\;0} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x = \frac{\pi }{4} — 2\pi  =  — \frac{{7\pi }}{4};\,\,\,\;\;\;x = \frac{{3\pi }}{4} — 2\pi  =  — \frac{{5\pi }}{4}.\)

Ответ:  а) \(\frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;\;\;\frac{{3\pi }}{4} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\)

             б) \( — \frac{{7\pi }}{4};\;\;\;\, — \frac{{5\pi }}{4}.\)