3В. а) Решите уравнение \({36^{\sin 2x}} = {6^{2\sin x}}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \frac{{7\pi }}{2}; — \frac{{5\pi }}{2}} \right]\).
а) \({36^{\sin 2x}} = {6^{2\sin x}}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{6^{2\sin 2x}} = {6^{2\sin x}}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin 2x = 2\sin x.\) Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x,\) то уравнение примет вид: \(4\sin x\cos x = 2\sin x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\,\;\sin x\left( {4\cos x — 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\,\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,}\\{\cos x = \frac{1}{2}}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,}\\{x = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;k \in Z.\) Ответ: а) \(\pi k,\;\; \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;k \in Z;\) б) \( — 3\pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{7\pi }}{2}; — \frac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: \(x = — 3\pi .\)