30В. а) Решите уравнение \(\left| {\sin x — \cos x} \right| = 1 — \sin 2x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{\pi }{6};\;\frac{{5\pi }}{6}} \right]\).
a) \(\left| {\,\sin x — \cos x\,} \right| = 1 — \sin 2x.\) Так как \(1 — \sin 2x \ge 0\) при \(x\, \in \,R\), то обе части уравнения неотрицательные. Поэтому возведение обеих частей уравнения в квадрат не приведёт к появлению посторонних корней. \({\sin ^2}x — 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 1 — 2\sin 2x + {\sin ^2}2x.\) Так как \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\) и \({\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1,\) то: \(1 — \sin 2x = 1 — 2\sin 2x + {\sin ^2}2x\;\,\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\sin ^2}2x = \sin 2x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin 2x\left( {\sin 2x — 1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin 2x = 0,}\\{\sin 2x = 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \pi k,\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{2x = \frac{\pi }{2} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{\pi k}}{2},\,\;\;\;\;\,}\\{x = \frac{\pi }{4} + \pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{4};\,\;\;\;x = \frac{\pi }{2}.\) Ответ: а) \(\frac{{\pi k}}{2},\;\;\,\,\,\frac{\pi }{4} + \pi k,\,\,\;\;\,k\, \in \,Z;\) б) \(\frac{\pi }{4};\,\,\,\,\,\;\frac{\pi }{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{\pi }{6};\;\frac{{5\pi }}{6}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: