31В. а) Решите уравнение \(\left| {\,\left| {\cos x — 2\sin x} \right| — \cos x\,} \right| = — \cos x\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;\;\pi } \right]\).
а) \(\left| {\,\left| {\,\cos x — 2\sin x\,} \right| — \cos x\,} \right| = — \cos x.\) Уравнение вида \(\left| {\,f\left( x \right)\,} \right| = g\left( x \right)\) равносильно системам: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\,\;\;\;\;\,}\\{f\left( x \right) = g\left( x \right);}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;\;\;\,\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{g\left( x \right) \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{f\left( x \right) = — g\left( x \right).}\end{array}} \right.\) Тогда уравнение \(\left| {\,\left| {\,\cos x — 2\sin x\,} \right| — \cos x\,} \right| = — \cos x\) примет вид: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — \cos x \ge 0,\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{\left| {\,\cos x — 2\sin x\,} \right| — \cos x = — \cos x;}\end{array}} \right.\;\;\;\,\;\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — \cos x \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\,}\\{\left| {\,\cos x — 2\sin x\,} \right| — \cos x = \cos x}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x \le 0,\;\;\,\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{\left| {\,\cos x — 2\sin x\,} \right| = 0;}\end{array}} \right.\;\;\;\,\;\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x \le 0,\;\;\,\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\,}\\{\left| {\,\cos x — 2\sin x\,} \right| = 2\cos x.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x \le 0,\;\;\,\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{\left| {\,\cos x — 2\sin x\,} \right| = 0\;}\end{array}} \right.\;\,\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x \le 0,\;\,\;\,\;\;\;\,}\\{2\sin x = \cos x\;}\end{array}\;\;} \right.\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x \le 0,}\\{{\rm{tg}}\,x = \frac{1}{2}\;\;}\end{array}} \right.\;\,\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x \le 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {\rm{arctg}}\,\frac{1}{2} + 2\pi k,\;\;\;\;\;\,}\\{x = \pi + {\rm{arctg}}\,\frac{1}{2} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z}\end{array}} \right.\;\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pi + {\rm{arctg}}\,\frac{1}{2} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) Рассмотрим вторую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x \le 0,\;\;\,\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\,}\\{\left| {\,\cos x — 2\sin x\,} \right| = 2\cos x.}\end{array}} \right.\) Так как \(\cos x \le 0,\) а уравнение последней системы может иметь решения только при \(\cos x \ge 0,\) то возможное решение последней системы: \(\cos x = 0.\) Проверим его подстановкой в последнюю систему. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x \le 0,\;\;\,\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\,}\\{\left| {\,\cos x — 2\sin x\,} \right| = 2\cos x}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,\;\,\,\;\;\;\,}\\{\left| {\, — 2\sin x\,} \right| = 0}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,}\\{\sin x = 0.}\end{array}} \right.\) Последняя система не имеет решений, так как \(\sin x\) и \(\cos x\) не могут одновременно равняться нулю. Таким образом, решением исходного уравнения является: \(x = {\rm{arctg}}\frac{1}{2} + \pi + 2\pi k,\;\;\,\;k \in Z.\) \(x = {\rm{arctg}}\frac{1}{2} + \pi — 2\pi = — \pi + {\rm{arctg}}\frac{1}{2}.\) Ответ: а) \({\rm{arctg}}\frac{1}{2} + \pi + 2\pi k,\;\;\,\;k \in Z;\) б) \( — \pi + {\rm{arctg}}\frac{1}{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\;\pi } \right]\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: