32В. а) Решите уравнение \(\frac{{\left| {\sin x} \right| + \sin 3x}}{{\cos x\cos 2x}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{\pi }{2};\;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\).
а) \(\frac{{\left| {\,\sin x\,} \right| + \sin 3x}}{{\cos x\cos 2x}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}.\) Данное уравнение равносильно системам: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{\frac{{\sin x + \sin 3x}}{{\cos x\cos 2x}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }};}\end{array}} \right.\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{\frac{{ — \sin x + \sin 3x}}{{\cos x\cos 2x}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему. Воспользуемся формулой суммы синусов: \(\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha — \beta }}{2}.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ge 0,\;\;\;\;\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{\frac{{2\sin 2x \cdot \cos x}}{{\cos x\cos 2x}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\,\,}\end{array}} \right.\;\,\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ge 0,\,\,\,\,\,}\\{\cos x \ne 0,\;\,\,}\\{\cos 2x \ne 0,}\\{{\rm{tg}}\,2x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}}\end{array}} \right.\;\,\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ge 0,\;\;\;\,\,\,\,\,}\\{x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,\;\,\,}\\{x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi n}}{2},\;}\\{x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{\pi k}}{2},}\end{array}} \right.\;\,\;\;k,n \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{12}} + 2\pi k,\;\,\,\;}\\{x = \frac{{7\pi }}{{12}} + 2\pi k,\;\,\;}\\{x = \frac{{13\pi }}{{12}} + 2\pi k,\;}\\{x = \frac{{19\pi }}{{12}} + 2\pi k,\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\,\;\;k \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{12}} + 2\pi k,\,\;}\\{x = \frac{{7\pi }}{{12}} + 2\pi k,\;}\end{array}\;\,\;k \in Z.} \right.\) Рассмотрим вторую систему. Воспользуемся формулой разности синусов: \(\sin \alpha — \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha — \beta }}{2}\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2}.\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x < 0,\;\;\;\;\,\,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{\frac{{2\sin x \cdot \cos 2x}}{{\cos x\cos 2x}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\,\,}\end{array}} \right.\;\,\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x < 0,\,\,\,\,\,}\\{\cos x \ne 0,\;\,\,}\\{\cos 2x \ne 0,}\\{{\rm{tg}}\,x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\;\,}\end{array}} \right.\;\,\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x < 0,\;\;\;\,\,\,\,\,}\\{x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,\;\,\,}\\{x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi n}}{2},\;}\\{x = \frac{\pi }{6} + \pi k,\;\,}\end{array}} \right.\;\,\;\;k,n \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\;}\\{x = — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\,\;\;k \in Z\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) Таким образом, решением исходного уравнения является: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{{12}} + 2\pi k,\;\;\;}\\{x = \frac{{7\pi }}{{12}} + 2\pi k,\;\;}\\{x = — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\,k \in Z.\) \(x = \frac{{7\pi }}{{12}};\;\;\;\;x = — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi = \frac{{7\pi }}{6}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{{12}} + 2\pi k,\;\;\;\;\frac{{7\pi }}{{12}} + 2\pi k,\;\;\;\; — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;\,k \in Z;\) б) \(\frac{{7\pi }}{{12}};\;\;\;\;\frac{{7\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{\pi }{2};\;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: