33В. а) Решите уравнение \(\frac{{{2^{\,{{\sin }^2}x}} + {{\sqrt 2 }^{\,{{\sin }^2}x}} — \sqrt 2 — \sqrt[4]{2}}}{{\sqrt {\cos x} }} = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\pi ;7} \right]\).
ОТВЕТ: а) \( \pm \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{{7\pi }}{4}.\)
а) \(\frac{{{2^{\,{{\sin }^2}x}} + {{\sqrt 2 }^{\,{{\sin }^2}x}} — \sqrt 2 — \sqrt[4]{2}}}{{\sqrt {\cos x} }} = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{\,{{\sin }^2}x}} + {{\sqrt 2 }^{\,{{\sin }^2}x}} — \sqrt 2 — \sqrt[4]{2} = 0,}\\{\cos x > 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\,\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Рассмотрим уравнение системы: \({2^{\,{{\sin }^2}x}} + {\sqrt 2 ^{\,{{\sin }^2}x}} — \sqrt 2 — \sqrt[4]{2} = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\left( {{2^{\,\frac{1}{2}{{\sin }^2}x}}} \right)^2} + {2^{\,\frac{1}{2}{{\sin }^2}x}} — \sqrt 2 — \sqrt[4]{2} = 0.\) Пусть \({2^{\,\frac{1}{2}{{\sin }^2}x}} = t,\) где \(t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2} + t — \sqrt 2 — \sqrt[4]{2} = 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \,\;\;D = 1 + 4\sqrt 2 + 4\sqrt[4]{2} = {\left( {1 + 2\sqrt[4]{2}} \right)^2},\;\;\;\;\sqrt D = 1 + 2\sqrt[4]{2}\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = \frac{{ — 1 + 1 + 2\sqrt[4]{2}}}{2} = \sqrt[4]{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{t} = \frac{{ — 1 — 1 — 2\sqrt[4]{2}}}{2} = — 1 — \sqrt[4]{2} < 0.\,\,\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{\,\frac{1}{2}{{\sin }^2}x}} = \sqrt[4]{2},\;}\\{\cos x > 0\,\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{\,\frac{1}{2}{{\sin }^2}x}} = {2^{\frac{1}{4}}},\;}\\{\cos x > 0\,\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\,\frac{1}{2}{{\sin }^2}x = \frac{1}{4},\,}\\{\cos x > 0\,\,\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\,\sin x = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2},\,}\\{\cos x > 0\,\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;\;}\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + \pi k,\;\;}\\{x = — \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\,}\\{x = — \frac{{3\pi }}{4} + \pi k,}\end{array}\;\;\;\;k \in Z} \right.}\\{\cos x > 0\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\; \pm \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;7} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\): \(\frac{{3\pi }}{4} \le 2\pi k \le 7 — \frac{\pi }{4},\) \(\frac{3}{8} \le k \le \frac{7}{{2\pi }} — \frac{1}{8},\) Нет целых k. \(\frac{{5\pi }}{4} \le 2\pi k \le 7 + \frac{\pi }{4},\) \(\frac{5}{8} \le k \le \frac{7}{{2\pi }} + \frac{1}{8}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,k = 1.\) Значит, \(x = — \frac{\pi }{4} + 2\pi = \frac{{7\pi }}{4}.\) Следовательно, заданному промежутку принадлежит корень \(\frac{{7\pi }}{4}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{\pi }{4} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{{7\pi }}{4}.\)
\(\pi \le \frac{\pi }{4} + 2\pi k \le 7,\)
\(\pi \le — \frac{\pi }{4} + 2\pi k \le 7,\)