34В. а) Решите уравнение \(\frac{{2{{\sin }^2}\left( {\frac{{3\pi }}{2} + 2x} \right) + \sin 4x}}{{{{\log }_3}\left( {\sqrt 2 \sin x} \right)}} = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\arcsin 0;\,\pi — arccos\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]\).
а) \(\frac{{2{{\sin }^2}\left( {\frac{{3\pi }}{2} + 2x} \right) + \sin 4x}}{{{{\log }_3}\left( {\sqrt 2 \sin x} \right)}} = 0.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 2 \sin x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{{\log }_3}\left( {\sqrt 2 \sin x} \right) \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,\;\,\;\,\,}\\{\sqrt 2 \sin x \ne 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,\;\,\;\,\,}\\{\sin x \ne \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,\;\;\;\;\;\,\;\,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \frac{\pi }{4} + 2\pi n,\,\;}\\{x \ne \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi n,}\end{array}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,n \in Z.\) Воспользуемся формулами приведения и синуса двойного угла: \(\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} + 2x} \right) = — \cos 2x,\) \(\sin 4x = 2\sin 2x\cos 2x.\) Тогда уравнение примет вид: \(2{\sin ^2}\left( {\frac{{3\pi }}{2} + 2x} \right) + \sin 4x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\cos ^2}2x + 2\sin 2x\cos 2x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos 2x\left( {2\cos 2x + 2\sin 2x} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\sin 2x = — \cos 2x}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = 0,}\\{{\rm{tg}}\,2x = — 1\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\,}\\{2x = — \frac{\pi }{4} + \pi k\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},\;\;\,}\\{x = — \frac{\pi }{8} + \frac{{\pi k}}{2},}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) Найдём решение уравнения с учётом ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},\;\;\,}\\{x = -\frac{\pi }{8} + \frac{{\pi k}}{2},}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z\,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \frac{\pi }{4} + 2\pi n,\,\;}\\{x \ne \frac{{3\pi }}{4} + 2\pi n,}\end{array}\,\,\;\;\;\;n \in Z\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{3\pi }}{8} + 2\pi k,}\\{x = \frac{{7\pi }}{8} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) Ответ: а) \(\frac{{3\pi }}{8} + 2\pi k,\;\;\;\;\frac{{7\pi }}{8} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{{3\pi }}{8}.\)
б) Так как \(\arcsin 0 = 0\) и \(arccos\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{\pi }{4},\) то заданный промежуток примет вид: \(\left[ {0;\,\frac{{3\pi }}{4}} \right].\) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\,\frac{{3\pi }}{4}} \right].\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значение: \(x = \frac{{3\pi }}{8}.\)