35В. а) Решите уравнение \({4^{\,\sqrt {\,1\, — \,{{\cos }^2}x} }} + 2 \cdot {4^{\,\sin x}} = 3\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \arccos \left( { — 1} \right)\,\,;\,\,\arcsin 0\,} \right]\).
а) \({4^{\,\sqrt {\,1\, — \,{{\cos }^2}x} }} + 2 \cdot {4^{\,\sin x}} = 3.\) Так как \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,\) то \(1 — {\cos ^2}x = {\sin ^2}x.\) Тогда уравнение примет вид: \({4^{\,\sqrt {\,{{\sin }^2}x} }} + 2 \cdot {4^{\,\sin x}} = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{4^{\,\left| {\sin x} \right|}} + 2 \cdot {4^{\,\sin x}} = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{4^{\,\sin x}} + 2 \cdot {4^{\,\sin x}} = 3}\end{array}\;\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x < 0,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{4^{ — \,\sin x}} + 2 \cdot {4^{\,\sin x}} = 3.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{{4^{\,\sin x}} + 2 \cdot {4^{\,\sin x}} = 3}\end{array}\;\;} \right.\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ge 0,\;\;\,}\\{3 \cdot {4^{\,\sin x}} = 3}\end{array}\;\;} \right.\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ge 0,}\\{{4^{\,\sin x}} = 1\;}\end{array}\;\;} \right.\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ge 0,}\\{{4^{\,\sin x}} = {4^0}}\end{array}\;\;} \right.\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x \ge 0,}\\{\sin x = 0\,}\end{array}\;\;} \right.\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) Рассмотрим вторую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x < 0,\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{4^{ — \,\sin x}} + 2 \cdot {4^{\,\sin x}} = 3.}\end{array}} \right.\) Решим уравнение системы: \({4^{ — \,\sin x}} + 2 \cdot {4^{\,\sin x}} = 3.\) \(\frac{1}{{{4^{\sin x}}}} + 2 \cdot {4^{\,\sin x}} = 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2 \cdot {4^{\,2\sin x}} — 3 \cdot {4^{\,\sin x}} + 1.\) Пусть \({4^{\,\sin x}} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \(2{t^2} — 3t + 1 = 0\;\,\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 1,\;\,}\\{{t} = \frac{1}{2}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x < 0,\,\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{4^{\,\sin x}} = 1,}\\{{4^{\,\sin x}} = \frac{1}{2}}\end{array}\;\,\,} \right.}\end{array}} \right.\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x < 0,\;\;\;\,\,\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{4^{\,\sin x}} = {4^0},}\\{{2^{\,2\sin x}} = {2^{ — 1}}}\end{array}\;\,\,} \right.}\end{array}} \right.\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x < 0,\;\;\,\,\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;}\\{\sin x = — \frac{1}{2}}\end{array}\;\,\,} \right.}\end{array}} \right.\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x = — \frac{1}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{x = — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}\;\;\;\;k \in Z.} \right.\) Таким образом, решение исходного уравнения будет иметь вид: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{x = — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;k \in Z.\) \(x = — \pi ;\,\,\;\;x = — \frac{{5\pi }}{6};\;\;\,\;x = — \frac{\pi }{6};\,\;\;\,\,x = 0.\) Ответ: а) \( — \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\; — \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;\,\pi k,\;\;\;\,k \in Z;\) б) \( — \pi ;\,\,\;\; — \frac{{5\pi }}{6};\;\;\,\; — \frac{\pi }{6};\,\;\;\,\,0.\)
б) Так как \( — \arccos \left( { — 1} \right) = — \pi \) и \(\arcsin 0 = 0,\) то заданный промежуток примет вид: \(\left[ { — \pi ;\,0} \right].\) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\,0} \right].\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: