36В. а) Решите уравнение \({4^{{{\log }_2}\left( { — \cos x} \right)}} + {2^{ — 1,5}} \cdot {3^{{{\log }_9}\left( {2{{\sin }^2}x} \right)}} = 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 2\pi ;\; — \frac{\pi }{2}} \right]\).
а) \({4^{{{\log }_2}\left( { — \cos x} \right)}} + {2^{ — 1,5}} \cdot {3^{{{\log }_9}\left( {2{{\sin }^2}x} \right)}} = 1.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — \cos x > 0,}\\{2{{\sin }^2}x > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x < 0,}\\{\sin x \ne 0.\,}\end{array}} \right.\) \({4^{{{\log }_2}\left( { — \cos x} \right)}} + {2^{ — 1,5}} \cdot {3^{{{\log }_9}\left( {2{{\sin }^2}x} \right)}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{2{{\log }_2}\left( { — \cos x} \right)}} + {2^{ — 1,5}} \cdot {3^{{{\log }_{{3^2}}}{{\left( {\sqrt 2 \sin x} \right)}^2}}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{{{\log }_2}{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{2^{1,5}}}} \cdot {3^{{{\log }_3}\left| {\,\sqrt 2 \sin x\,} \right|}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\cos ^2}x + \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left| {\,\sqrt 2 \sin x\,} \right| = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;1 — {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left| {\,\sin x\,} \right| = 1\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{1}{2}\left| {\,\sin x\,} \right| — {\left| {\,\sin x\,} \right|^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left| {\,\sin x\,} \right|\left( {\frac{1}{2} — \left| {\,\sin x\,} \right|} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\,\sin x\,} \right| = 0,}\\{\left| {\,\sin x\,} \right| = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\;}\\{\sin x = \pm \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = \pm \frac{\pi }{6} + \pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) Найдём решение уравнения с учётом ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{x = \pm \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}\;\;\;\;k \in Z} \right.}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\sin x \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{{5\pi }}{6} — 2\pi = — \frac{{7\pi }}{6};\,\,\;\;x = — \frac{{5\pi }}{6}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;\,k \in Z;\) б) \( — \;\frac{{7\pi }}{6};\;\;\;\, — \;\frac{{5\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 2\pi ;\; — \frac{\pi }{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: