37В. а) Решите уравнение \({25^{{{\log }_5}\left( {\sin x} \right)}} + 0,5 \cdot {2^{{{\log }_4}\left( {3{{\cos }^2}x} \right)}} = 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{{7\pi }}{2};\,\,5\pi } \right]\).
а) \({25^{{{\log }_5}\left( {\sin x} \right)}} + 0,5 \cdot {2^{{{\log }_4}\left( {3{{\cos }^2}x} \right)}} = 1.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,\;\;\,\,}\\{3{{\cos }^2}x > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,\,\,}\\{\cos x \ne 0.\,}\end{array}} \right.\) \({25^{{{\log }_5}\left( {\sin x} \right)}} + 0,5 \cdot {2^{{{\log }_4}\left( {3{{\cos }^2}x} \right)}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{5^{2{{\log }_5}\left( {\sin x} \right)}} + 0,5 \cdot {2^{{{\log }_{{2^2}}}{{\left( {\sqrt 3 \cos x} \right)}^2}}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{5^{{{\log }_5}{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{2} \cdot {2^{{{\log }_2}\left| {\,\sqrt 3 \cos x\,} \right|}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left| {\,\sqrt 3 \cos x\,} \right| = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;1 — {\cos ^2}x + \frac{1}{2}\left| {\,\sqrt 3 \cos x\,} \right| = 1\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left| {\,\cos x\,} \right| — {\left| {\,\cos x\,} \right|^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\left| {\,\cos x\,} \right|\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} — \left| {\,\cos x\,} \right|} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\,\cos x\,} \right| = 0,\;\;\,}\\{\left| {\,\cos x\,} \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = 0,\;\;\;\;\;}\\{\cos x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\,\;\,}\\{x = \pm \frac{\pi }{6} + \pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) Найдём решение уравнения с учётом ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\,\;\,}\\{x = \pm \frac{\pi }{6} + \pi k,}\end{array}\,} \right.\;\;\;k \in Z\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x > 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\cos x \ne 0\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{x = \frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = \frac{\pi }{6} + 4\pi = \frac{{25\pi }}{6};\,\,\,\;\;x = \frac{{5\pi }}{6} + 4\pi = \frac{{29\pi }}{6}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\,\frac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;\,k \in Z;\) б) \(\frac{{25\pi }}{6};\,\,\;\;\frac{{29\pi }}{6}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{7\pi }}{2};\,\,5\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: